差固定吗？再看倍数
4、7、10、13 的差是 3、3、3，先试等差；差不固定时，再对前项不为 0 的位置看相邻商，例如 3、6、12、24 每次乘 2。
先知道要学什么
数列这条线，一共 8 个知识点
不必一口气学完。点一个标题就能跳到那一课；学完可用实验台和复习题检验。
遇到新数列时的检查顺序
小小规律侦探：先观察，再下结论
别一上来就猜一个答案。把线索写下来，猜测才有根据。
- 先标位置确认第 1 项在哪；题目若从第 0 项编号，先换算位置再套以 a₁ 为起点的公式。
- 先看相邻差后一项减前一项；所有相邻差都相同，才用等差数列的公差与公式。
- 再看乘几前项不为 0 时比较相邻项的商；商都相同，才是固定公比的线索。
- 继续找结构差在变化就列差表；也可拆奇偶位、看前几项递推，或确认是否从开头固定循环。
- 验证再预测规则先要解释全部已知项；项数足够时，再检查开头、中间和末尾等至少三处。有限几项也可能有不止一种规则。
重要：数列只给几项时，数学上不一定只有一种可能规律。做题要找最简单、最符合全部已知项的规则，并用题目情境核对。
从线索选办法，不靠猜
这串数先看哪里？
先选一个最容易检查的猜想，再把它放回每一步验证；一处对不上，就换办法。
把差再写一行
2、5、10、17 的一阶差是 3、5、7，二阶差是 2、2。按“二阶差继续为 2”的规则，下一差是 9，因此下一项预测为 26。
按位置拆成两队
2、5、4、7、6、9 的相邻变化不固定；拆成奇数位 2、4、6 与偶数位 5、7、9 后，两队各自每次加 2。
检查周期或递推
4、7、4、7、4、7 可试长度为 2 的循环；2、5、11、23 可试“前一项乘 2 再加 1”。
边操作，边看变化
互动实验台：同样是数列，线索不一样
换一种数列、改变要找的项数，观察规律怎样带你找到答案。
本互动按给定起点和规则计算，只展示第 4—12 项的目标，方便逐项核对；不表示数列到第 12 项就结束。只看到有限几项时，延伸规则不一定唯一。
前几项
数列在变化
数列图会随选择更新。
数字也可以摆出来
互动图形数：点一颗，为什么会多一行？
三角数不是背出来的：第 1 层摆 1 颗，第 2 层再添 2 颗，第 3 层再添 3 颗……一层一层数，就得到 1、3、6、10……
这一项的点数101+2+3+4 = 10
按顺序学，也可以跳到熟悉的部分
8 课讲清数列里的主要规律
每一课都按“先听懂 → 看老师拆解 → 记住要点”来写。
01数列是什么？怎样找规律展开这一课
把一些数按顺序排成一队，就叫数列。队里的每个数叫一项；它排第几，就是第几项。例如 4、7、10、13……里，4 是第 1 项，10 是第 3 项。数学常用 a₁、a₂、a₃ 表示它们，aₙ 表示第 n 项。
第几项 n1234这一项 aₙ471013
找规律时，从这些问题开始
每次加或减多少？每次乘或除多少？差还会不会变化？奇数位、偶数位一样吗？前几项能不能推出下一项？是不是固定循环？
老师示范：4，7，10，13，下一项？
① 看相邻差：7−4=3，10−7=3，13−10=3。
② 三次变化都是“加 3”，所以先猜是每次加 3。
③ 继续一步：13+3=16。
④ 把规则放回去检查，前三次都对，才接受这个猜测。
记住：“下一项是 16”是答案；“每次加 3”才是规律。解释理由，比猜中更重要。
02等差数列：每次加一样多展开这一课
如果相邻两项的差总是同一个数，这就是等差数列。这个固定的差叫公差 d。公差可以是正数（往上走）、0（不变）或负数（往下走）。
3+47+411+415
第 n 项
aₙ = a₁ + (n−1) × d从第 1 项到第 n 项，走了 n−1 个间隔。例：7、11、15、19……第 10 项是多少？
公差 d=4。第 1 项到第 10 项之间有 9 个间隔。
a₁₀=7+9×4=7+36=43。
前 n 项和（配对法）
Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2首尾配成同样的和：首项+末项，一共有 n 项。容易错：第 10 项只加 9 次公差，不是 10 次。数清楚“间隔”最稳妥。
03等比数列：每次乘一样多展开这一课
有些数不是每次加同一个数，而是每次乘同一个数。这个固定的乘数叫公比 r，这样的数列叫等比数列。
3×26×212×224
第 n 项
aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹指数是 n−1，因为从第 1 项到第 n 项要乘 n−1 次。例：3、6、12、24……第 6 项？
相邻项都是乘 2，所以公比 r=2。
顺着乘：第 5 项 48，第 6 项 48×2=96。
用公式也可检查：3×2⁵=96。
公比也有边界
公比可以是负数或分数：12、−6、3、−1.5 每次乘 −1/2。公比也可以是 0：5、0、0、0…… 可按“下一项=0×前一项”生成；但前一项已是 0 时，不能用 0÷0 求商。若全是 0，单看这些项也不能反推出唯一公比，要回到乘法规则或题目条件判断。
别混淆：2、4、6、8 是等差（每次 +2）；2、4、8、16 是等比（每次 ×2）。先算差，再看倍数。
04递推数列与斐波那契数列展开这一课
递推就是“用已经知道的项，规定下一项怎么来”。有的看前一项，有的同时看前两项。著名的斐波那契数列从 1、1 开始，之后每一项都等于前两项相加。
111+1=21+2=32+3=53+5=85+8=138+13=21
递推规则
F₁=1，F₂=1；Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂（n≥3）前两项是起点；规则从第 3 项开始使用。例：1、1、2、3、5、8……第 8 项？
第 7 项=5+8=13。
第 8 项=8+13=21。每次都要用“前两项”，不是只加前一项。
递推规则要配起点
规则每次要用几项，就要先给够几个起始值：只看前一项时，给一个起点即可；同时看前两项时，要给前两项。例如 a₁=2，a₂=3；aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂（n≥3），数列是 2、3、5、8……。只有递推句子、没有足够初值，通常不能确定唯一的一串数。
名称也要会：“前两项相加”是递推规则；“斐波那契数列”是这个经典数列的名字。不同起始项，也能用相同递推法。
05图形数：三角数、平方数和多边形数展开这一课
有些数来自“数点点”。把点排成三角形，得到三角数；排成正方形，得到平方数。看图会发现，数字的变化不是凭空发生的。
三角数1、3、6、10、15……每次增加 2、3、4、5……
平方数1、4、9、16、25……1×1、2×2、3×3、4×4……
五边形数（拓展）1、5、12、22、35……图形每长一圈，增加的点数也有规律。
三角数与平方数
Tₙ = n(n+1) ÷ 2 Qₙ = n²三角数是 1 到 n 的和；平方数是 n 个 n 相乘。例：三角形摆到第 5 层有多少点？
按行数点：1+2+3+4+5=15。
公式核对：5×6÷2=15。可以打开上方“互动图形数”，亲手增加一层看总数。
知道名字，才能认得出来：遇到 1、3、6、10，试着画成点阵；遇到 1、4、9、16，想一想是不是边长递增的正方形。
06差上还有差：二阶差分展开这一课
如果第一层“相邻差”不是固定的，先别放弃。把差再排成一行，继续比较相邻差，叫看二阶差分。对于常见的二次规律，第二层差会固定。
原数1491625
一阶差 3579
二阶差 222
平方数的第一层差是 3、5、7、9……每次再加 2；第二层差都是 2。
从差分表还原原数列
若第一项是 2，一阶差依次为 3、5、7、9，就从起点逐步累加：
2+35+510+717+926
二阶差为 2、2、2；按此规则继续时，下一项为 26。例：1、4、9、16、……下一项？
相邻差：3、5、7；差每次增加 2。
下一次差是 9，所以新的一项=16+9=25。
适合什么时候：看到相邻差像 2、3、4、5 这样继续变化时，再看“差的差”。小学生先会列差表、讲清步骤就够了，不用急着背复杂通项公式。
07交错数列：把奇数位、偶数位分开看展开这一课
有的数列像两队人轮流排队：奇数位一队，偶数位一队。整串看起来乱，拆成两串就清楚了。
原数列2、5、4、7、6、9、？
奇数位2、4、6、8
偶数位5、7、9……
老师示范：下一项是谁的队伍？
已知 6 项，要找第 7 项。第 7 项是奇数位，接在 2、4、6 后面，每次 +2，所以是 8。不要把两队混在一起看。
线索词：交替、轮流、奇数项、偶数项、每隔一项，看到这些词就试试分组。
08周期数列：循环到第几次展开这一课
红、黄、蓝、红、黄、蓝……每隔 3 项就重来一次。重复的一段叫周期，这里周期长度是 3。星期、彩灯、动作轮换都能用同一个办法。
红黄蓝再回到红……
找第 n 项的位置
用 n ÷ 周期长度，看余数余数 1 对应周期第 1 项；余数 0 对应周期最后一项。例：红黄蓝循环，第 14 项是什么颜色？
14÷3=4……2，余数是 2，就看每轮的第 2 个颜色。答案是黄色。若刚好整除，余数 0，就看每轮最后一个。
前面有一段不循环，位置要先平移
数列：黑、红、黄、蓝、红、黄、蓝……。第 1 项“黑”是前导项，后面从第 2 项开始循环“红、黄、蓝”，所以前导长度 p=1，周期长度 L=3。
求第 4 项：先算循环里的位置 q=4−p=3，3÷3 余 0，取周期最后一项，答案是蓝。若 n≤p，直接取前导项；若 n>p，用 q=n−p 后再按周期定位。
小心编号：先确认题目把第一项算作第 1 项；这里假设循环从第 1 项开始，若前面有不循环的一段，先扣掉那段再按周期取余。
随时翻看，不必硬背
数列公式速查卡
先看题目属于哪类，再用公式。符号意思不清楚时，回到上面对应的一课。
aₙ=a₁+(n−1)dd 是每一步固定增加的差；n−1 是间隔数。Sₙ=(a₁+aₙ)n÷2首尾配对；也可用“平均数 × 项数”。aₙ=a₁×rⁿ⁻¹r 是相邻两项固定的倍数；共乘 n−1 次。F₁=F₂=1，Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂从第 3 项开始，每项等于前两项之和。Tₙ=n(n+1)÷2 Qₙ=n²三角数是 1 到 n 的和；平方数是 n×n。Pₙ=n(3n−1)÷2前几项：1、5、12、22、35……可画点验证。位置由 n ÷ 周期长度的余数决定余数 0 要看周期的最后一个位置。差 → 倍数 → 差的差 → 分组 → 递推 / 周期每次只选能解释所有已知项的规则，并回头检验。符号与编号：n 是正整数，公式默认从第 1 项编号；a₁ 是首项，aₙ 是第 n 项，d 是公差，r 是公比，Sₙ 是前 n 项的和。题目若从第 0 项编号，先换算位置再使用公式。
先自己试，再看提示
复习闯关：会找理由才算会
答对 0 / 10
提示与完整讲解
相邻差都是 3，下一项是 14+3=17。这是等差数列，公差是 3。
提示与完整讲解
每一项乘 2。第 5 项=24×2=48；这是公比为 2 的等比数列。
提示与完整讲解
斐波那契数列每项等于前两项相加；第 7 项=5+8=13。
提示与完整讲解
三角数第 n 项 Tₙ=n(n+1)÷2。T₆=6×7÷2=21；也可以从 10 开始加 5、再加 6。
提示与完整讲解
奇数位是 2、4、6……，偶数位是 5、7、9……。第 7 项是奇数位的下一项，所以是 8。
提示与完整讲解
14÷3 余 2，落在每轮第 2 个位置，因此是黄色。答案可填“黄”或“黄色”。
提示与完整讲解
一阶差是 3、5、7，二阶差是 2、2。按题目给定的规则，下一差为 9，所以 17+9=26。题目指定了延伸规则；不应只凭有限项声称答案唯一。
提示与完整讲解
前导长度 p=2；第 10 项要先扣掉前两项，q=10−2=8。8÷2 余 0，取周期最后一项 5。若忘记先扣前导项，会错一位。
提示与完整讲解
不能唯一确定：按“每次乘 2”下一项是 8；按相邻差 1、2、3 递增，下一项是 7。两条规则都解释已知的 1、2、4。题目若没有指定规则，就说明采用的假设。
提示与完整讲解
公比是 −2（不是 +2），所以 −24×(−2)=48。负公比会让正负号交替；把乘数和符号一起检查。
这一轮全对，数列规律已经能用起来了。也可以回到上面的公式卡，做一次快速复盘。再看公式速查 ↑
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把这条线放回整棵知识树
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周期会连接到余数与同余；图形数会连接到平方和与图形；递推也会出现在计数和路线问题里。